2023年度 シラバス学部 2023年度 シラバス学部 2023年度 シラバス学部
| 2024/01/30 現在 |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 1学期・2学期 ／1st & 2nd Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
1年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
渡部 繁 |
| 担当教員名 ／Instructor |
浅井 和人, 渡部 繁, 蘇 春華, 可知 靖之, ヴィリエッタ ジョヴァンニ |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
－ |
| 更新日／Last updated on | 2023/09/25 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
理工系大学の基礎課程における数学は、線型代数と微積分の二コースについて学習するのが通例とな っている。本講義では、線型代数の前半部分を学習する。もう一方の柱である微積分とともに履修 することが求められる。線型代数の理解なくして微積分の理解はありえないし、その逆もありえない からである。 線型代数は、和とスカラー倍によって不変な対象を調べる分野であって、高校では、ベクトルとして すでに現れている。歴史的には、連立一次方程式の解法を源泉としているが、中心テーマである行列 の固有値問題は、連立線型微分方程式の理論に始まる。この講義では、固有値問題を考える上で必要 となる最小限の概念と、計算技術の習得とを目標にする。 受身になりがちな講義と並行して、学生の主体的学習の場として演習も行う。学生諸君の積極的参加 を期待する。 線型代数が扱うテーマは、コンピュータ理工学のあらゆる分野に現れる。グラフィックスひとつにし ても、その数理を理解する上で、線型代数は欠くことができない。確かに、数学はそれ自身のために 発展してきたという側面がある。しかし、工学や物理学等からの要請から生まれ、または発展してき たという側面もある。コンピュータ理工学を学ぼうとする諸君が、数学をここで学ぶのはそのためで ある。 |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [コンピテンシーコード] C-MS-001, C-MS-002 この講義では、固有値問題を考える上で必要となる最小限の概念と、計算技術の習得とを目標にして、 以下のような内容を扱う。 まず、平面や空間のベクトル、二次行列から始めて、一般の数ベクトル、行列へと話をすすめる。次 いで、行列の基本変形と連立一次方程式、逆行列との関係について触れ、行列の取り扱いに慣れても らう。これに行列式と線型空間の基礎理論を加えて、固有値問題への準備は完了するのである。 到達目標 行列の階数を理解し、一次方程式系を解くことができる。 線型空間の基底、次元を理解し、線型部分空間が扱える。 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
１ 行列入門（１） ２ 行列入門（２） ３ 行列と線型変換（１） ４ 行列と線型変換（２） ５ 行列の定義と演算 一般論 ６ 正方行列とくに正則行列、行列と線型写像 ７ 行列の基本変形と階数 ８ 一次方程式系 ９ 行列式の定義 １０ 行列式の性質 １１ 行列式の展開 １２ 線型空間の定義と性質 １３ 線型空間の基底と次元 １４ 線型部分空間、線型写像 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
齋藤正彦著 線型代数入門 （東京大学出版会） 水田義弘著 理工系 線形代数 （サイエンス社） ヴィリエッタ（ICTG）クラス Lipschutz-Lipson, Schaum's Outlines Linear Algebra (sixth edition), McGraw-Hill Education |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
浅井クラス 期末試験 100% 渡部クラス 期末試験 100% 可知クラス 期末試験 100% ヴィリエッタ（ICTG）クラス 期末試験 100% |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
浅井クラス http://web-ext.u-aizu.ac.jp/~k-asai/classes/class-texts.html |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 3学期・4学期 ／3rd & 4th Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
1年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
渡部 繁 |
| 担当教員名 ／Instructor |
渡部 繁, 渡邊 曜大, 松本 和也, 橋本 康弘, 可知 靖之, 蘇 春華 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
事前に学んでおいてほしい科目一覧（下記科目内容の一部ないし全部を既知として授業を進めます） MA01 線型代数 I |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
線型代数 I の続きとして、固有値問題を扱う。前期と同様に、微積分 とともに履修することが求められるが、その理由は I に述べた通りである。 たとえば、多変数関数の微積分において、行列や行列式が決定的な役割を 果たす様を見ることになる。また、固有値問題は、数列の漸化式を解く有 力な方法を提供する。線型代数と微積分とを有機的に結び付けて理解して おくことがいかに重要であるか、痛感することになるだろう。また、電 磁気学で必要不可欠なベクトル解析の下地もここで養われる。その他、演 習も含め基本的方針は、線型代数 I と変わるところはない。 |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [コンピテンシーコード] C-MS-003 行列の固有値問題の理解 固有値、 固有ベクトル、対角化 到達目標 行列の固有値、固有ベクトルが求められる。 行列の対角化ができる。 ユニタリ行列による正規行列の対角化ができる。 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
１ 内積 ２ 計量線型空間 ３ シュミットの直交化 ４ 固有値問題入門 --- 対角化の意義 ５ 固有値と固有ベクトル（１） ６ 固有値と固有ベクトル（２） ７ 行列の対角化（１） ８ 行列の対角化（２） ９ ユニタリ行列による正規行列の対角化（１） １０ ユニタリ行列による正規行列の対角化（２） １１ ユニタリ行列による正規行列の対角化（３） １２ 直交行列による実対称行列の対角化 １３ 二次形式 １４ 二次曲線 授業の順序は変更することがある。 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
齋藤正彦著 線型代数入門 （東京大学出版会） 水田義弘著 理工系 線形代数 （サイエンス社） |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
渡部クラス 期末試験 100% 可知クラス 期末試験 100% 橋本クラス 期末試験 100% |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 1学期・2学期 ／1st & 2nd Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
1年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
木原 浩 |
| 担当教員名 ／Instructor |
木原 浩, 小川 佳子, 李 鵬, 藤本 裕輔 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
－ |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
(ICTGクラスはQ4に開講し、担当は李 鵬先生です。) 本講義では、微積分の前半部分を学習する。もう一方の柱である線型代数と並行して履修することになるが、線型代数の理解なくして微積分の理解はありえない し、その逆もありえないからである。また物理では、早々に微積分が必要となり、さらにはベクトルに対する微積分まで登場する。これらを学習するためにも、 なるべく早い時期に、二つの基礎数学に接し、双方を有機的に結び付けて理解しておくことは重要である。 微積 分は、図形の面積、曲線への接線等の問題を出発点とし、ニュートンによる力学的考察に基づいて一定の基礎が築かれた。極限の概念がその根底にあるのは、い うまでもないことである。その後も、先人達によって整備された微積分は、その扱われ方の違いから、一変数と多変数のふたつにわけられる。本講義では、この うち一変数の微積分を扱う。基本的な計算技術に関しては、高校で学ぶ事柄と大差はなく、扱う関数の範囲を若干ひろげるだけのことである。異なるのは、極限 概念の取り扱いであるが、厳密な議論を行うには無理な点があるので、全面的な導入はしない。受身になりがちな講義と並行して、学生の主体的学習の場として 演習も行う。学生諸君の積極的参加を期待する。 |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [コンピテンシーコード] C-MS-007, C-MS-008 高校で習った微積分に よりしっかりした基礎付けを行いながら、 逆三角関数や関数の展開 積分の漸化式等のより高度な内容も紹介していく。 この教科は このあとで習う微積分II、確率統計学、フーリエ解析、複素関数論だけでなく、物理やコンピュータサイエンスのあらゆる分野に進むための基礎知識となる。 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
1. 実数の集合 2. 数列の極限 3. 関数の極限と連続関数 4. 導関数および指数関数と対数関数 5. 三角関数と逆三角関数および高次導関数 6. オイラーの公式 7. 微分、平均値の定理および関数の増減 8. テイラーの定理および関数の展開 9. 不定積分と漸化式 10. 有理関数の積分 11. 一階および二階の線型微分方程式 12. 定積分の定義および性質 13. 定積分の計算と定義の拡張、図形の計量 14. 全体の復習 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
栗田稔著「新講 微積分学」学術図書、１、４４２円 米田元 著 「理工系のための微分積分入門」 サイエンス社 １８９０円 |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
期末テスト:レポート= 8:2 |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
なし 履修規程上の先修条件：なし |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
授業で指示する |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 3学期・4学期 ／3rd & 4th Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
1年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
木原 浩 |
| 担当教員名 ／Instructor |
木原 浩, 三瓶 岳昭, 土屋 貴裕, 渡邊 曜大, 大藤 建太, 李 想 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
事前に学んでおいてほしい科目一覧（下記科目内容の一部ないし全部を既知として授業を進めます） MA03 微積分I |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
(ICTGクラスはQ2に開講し、担当はLi. X.先生です。) 微積分Iに引続き、多変数関数の微積分を扱う。一変数のときと比べて、趣が異なるけれども、実際の計算は、一変数の場合に帰着してしまう。従って、授業を 大事にして基本さえおさえておけば、何ら恐れることはない。なお、基本的方針は、微積分 I と変わるところはない。また、線型代数 II の項も参照されたい。 |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [コンピテンシーコード] C-MS-009, C-MS-010 多変数の微積分の基礎の修得を目的とする。 １変数関数に対する微分は多変数関数に対する偏微分に拡張されるが その考え方 計算は難しくない。微分を１変数関数の極大極小問題に応用したように偏微分を多変数関数の極大極小問題に応用する。 また １変数関数に対する積分は多変数関数に対する重積分に拡張されるが やはりその考え方 計算は難しくない。特に１変数関数に対する置換積分にあたる変数変換の技法に習熟してほしい。 最後に 級数についても学ぶ。特に関数項級数は フーリエ変換、複素関数論の基礎にもなる。 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
1. 媒介変数による曲線の表示 2. 空間曲線および極方程式 3. 偏微分係数 4. 合成関数の微分法 5. 全微分および関数の展開 6. 関数の極大極小 7. 重積分およびその計算 8. 変数の変換による重積分 9. 面積および体積 10. 一次微分式と積分 11. 無限級数の収束、絶対収束と条件収束 12. 無限級数の和と積および関数列の極限 13. 整級数 14. 全体の復習 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
栗田稔著「新講 微積分学」学術図書、１４４２円 米田元 著 「理工系のための微分積分入門」 サイエンス社 １８９０円 |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
期末テスト:レポート= 8:2 |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
線型代数I、微積分I |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
授業で指示する |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 1学期 ／First Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
2年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
可知 靖之 |
| 担当教員名 ／Instructor |
土屋 貴裕, 李 想, 呂 国偉, 可知 靖之 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
MA01-02 線形代数 I, II MA03-04 微積分 I, II |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
フーリエ解析は19世紀初頭のフーリエによる熱方程式（微分方程式）の研究を起源としている。そのアイディアは「三角関数をうまく用いて任意の関数を表そう」というものであった。この考え方は応用において多くの有用な結論を導いたが、収束概念等が整備されていなかった当時としては、その結論が数学的に正当化されるか否かは不明であった。現在においては通常の理工学応用に関する部分では数学的に厳密な理論の整備がなされている。フーリエ解析にはフーリエの時代からの応用（微分方程式に関する処理）に加え現代的な応用、たとえば、画像情報や音声情報等に関する信号処理において必須の基礎理論としての地位があたえられている。本講義では数学的な論証の細部には立ち入ることはできないが、与えられた関数を三角関数や指数関数を用いて取り扱うテクニックを習得してもらう。演習問題への解答等を通し、フーリエ解析の基本的な定理の使い方および付随する計算に習熟してもらう。 |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [Competency code] C-MS-011 第1部 フーリエ級数展開 有限区間で定義され関数の空間の正規直交系とベッセルの不等式を理解できること。三角関数（指数関数）のフーリエ級数を理解し、多項式、指数関数、三角関数等の関数で表された関数をフーリエ級数展開が計算できること。 第2部 フーリエ級数の性質 フーリエ級の収束条件を理解し、与えられた関数とそこから得られたフーリエ級数との関係を理解できること。またパーセバルの定理を理解し、その適用ができること。ワイヤストラスの定理が理解できること。 第3部 フーリエ積分 フーリエ級数の区間を実数全体に延長するという“発見的な”操作からフーリエ積分が得られることを理解すること。さらに、与えられた関数からフーリエ変換、フーリエ積分（フーリエ逆変換）が計算できる。対象となる関数には上記の初等関数等に加え $e^{-x^2}$ を含む関数が入る。関数の合成積とフーリエ変換との関係を理解し、その計算ができること。 第4部 ラプラス変換 フーリエ変換の変化形としてのラプラス変換を理解し、ある種の常微分方程式への応用ができること。その中には解をラプラス変換の合成積で表示するような解法も含まれる。 第5部 離散フーリエ変換 階段関数に対してフーリエ級数の理論を適用し、発見的な考察をすることにより、離散フーリエ変換 (DFT) が紹介される。第2部で紹介したフーリエ級数の理論に相当する理論を理解する。離散フーリエ変換の効率的な計算方法としての高速フーリエ変換 (FFT) を理解し、その高速性を得心する。 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
第1回 第1部 フーリエ級数展開 （関数空間における直交系） 第2回 第1部 フーリエ級数展開 （有限区間上の初等関数の三角関数による表示） 第3回 第1部 フーリエ級数展開（演習） 第4回 第2部 フーリエ級数の性質（与えられた関数とそのフーリエ級数の関係） 第5回 第2部 フーリエ級数の性質（パーセバルの定理、ワイヤストラスの定理）） 第6回 第2部 フーリエ級の収束条件（演習） 第7回 第3部 フーリエ積分（フーリエ級数の理論からの導入、フーリエ（逆）変換）） 第8回 第3部 フーリエ積分（フーリエ積分におけるパーセバルの定理、合成積） 第9回 第3部 フーリエ積分（演習） 第10回 第4部 ラプラス変換（フーリエ変換の変化形としてのラプラス変換の導入） 第11回 第4部 ラプラス変換（定数係数線形状微分方程式の解法） 第12回 第4部 ラプラス変換（演習） 第13回 第5部 離散フーリエ変換（階段関数に対するフーリエ級数の理論） 第14回 第5部 離散フーリエ変換（Fast Fourier Transform） |
| 教科書 ／Textbook(s) |
教科書（土屋クラス、可知クラス） 洲之内源一郎：フーリエ解析とその応用（サイエンスライブラリ、理工系の数学１２）、サイエンス社 およびハンドアウト （李クラス） ハンドアウト （呂クラス） ハンドアウト |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
基本的には期末試験の成績をもとに評点を付ける。ただし、小テスト及び演習毎のレポートの状況を最終評点加点することがある。 |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
重要な関連科目：MA06 複素解析、IT03 画像処理学、IT08 信号処理と線形システム、IT09 音響音声処理論 |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
(土屋、可知クラス) トランスナショナルカレッジオブレックス編「フーリエの冒険」,ヒッポファミリークラブ 金谷健一著「これならわかる応用数学教室」,共立出版 Nakhle H. Asmar; Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems: Third Edition (Dover Books on Mathematics) |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 4学期 ／Fourth Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
2年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
浅井 和人 |
| 担当教員名 ／Instructor |
浅井 和人, 李 想 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
事前に学んでおいてほしい科目一覧（下記科目内容の一部ないし全部を既知として授業を進めます） MA03微積分I |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
複素関数とは，広い意味では複素数から複素数への写像，すなわち複素変数複素数値関数であるが，通常複素関数論と言えば，さらに解析性と呼ばれる性質をもつ関数を扱う．解析性とは，局所的に（十分小さい円の内部で）収束するべき級数で展開されるという性質であり，それはまたそこにおいて関数が正則（複素変数として微分可能）ということと同値となる． 本講では，まず複素関数を導入した後，その正則性やCauchy--Riemannの関係式を学ぶ．次に複素平面上の曲線に沿った複素積分を定義した上で，Cauchyの積分定理，積分公式などを導く．さらにその応用としてTaylor展開および Laurent展開を得る．前者はべき級数による関数の展開であって，複素関数論におけるもっとも基本的な結果である．後者は特異点や留数定理の研究に応用される．その他，最大値の原理，微分方程式のべき級数による解法，Roucheの定理による零点の個数計算など，直接応用に役立つ事柄も数多く導かれる． この理論を学ぶとき，必要な定理が次から次へと自然に導かれていくことに感銘を受けるだろう．それゆえ複素関数論は，数学のなかでも美しい体系を持っていると言われる．その中でも特に印象に深いことは，解析性をもつ関数は，極めて小さい領域における振る舞いによって，全領域での振る舞いが決まってしまうという事実である．このことは，あらゆる生物が1つの細胞から全体を復元できることと似ている． 解析性という性質は，私たちが一般に実関数としてなじみの深い関数: 多項式，有理関数，指数関数，対数関数，三角関数，およびそれらを組合せて得られるものすべてが持っている性質である．それゆえ複素関数論は，種々の分野において容易に応用されるという特徴を持つ．電磁気学，流体力学，熱伝導論や，コンピュータサイエンスにおけるシステム理論，信号処理等，さまざまな応用分野において，複素関数論の素養は極めて重要な要件と言える． |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる 授業の目的: 正則な関数について理解し，Cauchyの積分定理，積分公式を種々の問題に応用できるようにする. 解析関数をTaylor級数， Laurent級数に展開できることを学ぶ. 留数定理を積分計算に応用する． 到達目標: 正則な関数，Cauchy--Riemannの関係式，複素積分，Cauchyの積分定理，Cauchyの積分公式，Taylor級数，Laurent級数， 特異点，留数定理． |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
1. 複素平面，無限遠点 2. 正則な関数，Cauchy-Riemannの関係式 3. 調和関数 4. 多項式，有理関数，指数関数，三角関数，対数関数，べき根，一般のベキ 5. 複素積分 6. Cauchyの積分定理，正則関数の積分 7. Cauchyの積分公式，Liouvilleの定理，最大値の原理 8. 複素数列，級数 9. 関数列，関数項を持つ級数，一様収束 10. ベキ級数と収束域 11. Taylor展開 12. Laurent展開，零点，特異点 13. 留数定理 14. 種々の（実）定積分への応用 （詳細は各クラス毎に異なる） |
| 教科書 ／Textbook(s) |
ハンドアウト（各教員による）および，以下の教科書 浅井クラス: 教科書として、ハンドアウトを与える．その他，必要な教材はすべてダウンロード可能．授業に必要はないが，参考書として有名な本をあげるとすれば， 複素解析（プリンストン解析学講義），エリアス・M. スタイン，ラミ シャカルチ（著），新井，杉本，高木，千原（訳），日本評論社，2009． 新版 複素解析（基礎数学8），高橋礼司，東京大学出版会，1990． Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable, Lars Ahlfors, AMS Chelsea Publishing, 385, 2021. 李クラス: A first course in Complex Analysis with application, Dennis G. Zill and Patrick D. Shanahan, Jones and Bartlett Publishers, Inc, 2003. |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
浅井クラス：レポート課題8割以上の消化の前提の下で，期末試験100%で評価する．（期末試験は125点満点程度とし，試験の得点 p に対して，原則として s=80+(p-80)/2 (p>80), s=p (p≦80) で成績sを算出する） 李クラス：ホームワーク26%，（2 x 13 回，出席は2/3以上），クイズ6%, 期末試験68%． |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
先修するのが望ましい科目:微積分II 重要な関連科目: フーリエ解析, 電磁気学 |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
浅井クラスの授業用ホームページ: http://web-ext.u-aizu.ac.jp/~k-asai/classes/class-texts.html |
| コンピテンシーコード表を開く 科目一覧へ戻る |
| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 1学期 ／First Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
2年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
土屋 貴裕 |
| 担当教員名 ／Instructor |
土屋 貴裕, 蘇 春華, 橋本 康弘, 浅井 信吉 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
Courses preferred to be learned prior to this course (This course assumes understanding of entire or partial content of the following courses) MA03 Calculus I MA04 Calculus II MA01 Linear algebra I MA02 Linear algebra II |
| 更新日／Last updated on | 2023/12/19 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
Probability and Statistics is the most useful area in mathematics. We present an introduction to Probability and Statistics for 2nd year students. |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[Corresponding Learning Outcomes] (C)Graduates are able to apply their professional knowledge of mathematics, natural science, and information technology, as well as the scientific thinking skills such as logical thinking and objective judgment developed through the acquisition of said knowledge, towards problem solving. As a study of random variation and statistical inference, Probability and Statistics are important in computer science and other wide areas of Mathematical sciences. The words of error, mean, variance, correlation, estimation are used most often. But, their definitions are not well known and badly understood. In this course, we explicitly explain these words and concepts of Probability and Statistics. They are useful knowledge for students. Moreover, statistical analysis is the basis on solve statistic problems in research and business. C-DS-001-1,C-DS-002-1, C-DS-007, C-MS-013, C-MS-014 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
1. basis of statistics 2. 1-dim data 3. 2-dim data 4. probability 5. random variable 6. probability distribution 7. multi-dimensional probability distribution 8. Law of large number 9. sample distribution 10. sample from Gaussian distribution 11. estimation 1(mean) 12. estimation 2(variance) 13. hypothesis test 1 (mean) 14. hypothesis test 2(variance) |
| 教科書 ／Textbook(s) |
Tokei kaiseki Nyumon ( Tokyo Univ Press ) |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
Mini-Tests 60 and reports 40 |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
An Introductiion to Probability Theory and its Application, Vol 1 Tokeigaku Nyumon (Tokyo Univ Press) |
| コンピテンシーコード表を開く 科目一覧へ戻る |
| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 2学期 ／Second Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
3年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
浅井 信吉 |
| 担当教員名 ／Instructor |
浅井 信吉, 李 想 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
事前に学んでおいてほしい科目一覧（下記科目内容の一部ないし全部を既知として授業を進めます） MA01 線形代数I FU03 離散系論 |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
本科目では代数的な演算を定義した種々の集合とその性質について学ぶ．定義される演算が満たす条件に応じて，それら集合は，群，環，体などと呼ばれる．代数的な演算を抽象的に取り扱うことで，これらの対象について一般的に論じられる性質を学ぶことができる．これは，コンピュータサイエンスの基礎として「アルゴリズムとデータ構造」や「離散系論」などを学ぶとき，様々な具体的な問題を抽象化してアルゴリズムや離散系として論ずるのと同様である．一見すると形式的な抽象理論のように感じらるが，実際には整数，実数や行列などの具体的な集合の持つ共通な代数的な性質の一般化である．それらの議論の応用として，符号理論，公開鍵暗号や乱数生成などの実際的な問題について学ぶ．講義では定理の証明をなるべく分かりやすく述べると共に，定理の持つ意味やその応用を述べる．また抽象的に考える力，演繹する思考法を学ぶ．理解を助け深めるため，例題（計算問題，証明問題）及び課題（宿題）などを課す．講義内容の確認のためのクイズ，小テストを適宜実施する． |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる 代数的構造を理解しそれから導かれる様々な応用例を理解する． 以下の項目を学習する：代数的演算と構造，半群，群，正規部分群，剰余群，準同型定理，有限群，直積（直和）分解，対称群，一般線形群，環，全行列環，イデアルと剰余環，準同型定理，中国の剰余定理， 素イデアルと極大イデアル，局所化 (可逆化)，単項イデアル環，一意分解環，ユークリッド整域，多項式環，体，体の拡大，代数拡大，最小分解体，有限体，作図可能性, M 系列, 符号理論 |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
授業スケジュールはクラスによって異なるので注意すること．以下の述べた授業スケジュールは例である．詳しい情報はクラスの web を参照すること． 01 代数系へのプロムナード 02 整数と多項式の剰余と代数系 03 群(1): ラグランジュの定理 04 群(2): 剰余群と準同型定理 05 群(3): 群の構造の解析 06 群の応用: 三山崩し 07 中間試験 08 環と体(1): イデアル，剰余環 09 環と体(2): 多項式環 10 環と体(3): 可逆化 11 応用(1): 商体と演算子法 12 環と体(4): 体の拡大 13 応用(2): M 系列乱数の生成 14 応用(3): 誤り訂正符号 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
N. Asai class 杉原，今井，工学のための応用代数，共立出版 (1999). X. Li class Mainly uses hand out. |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
N. Asai class: 中間試験，期末試験，クイズ，宿題を 3 : 4 : 1 : 2 で評価． X. Li class: Final Exam 60%, Quiz 15%, Homework 25%で評価 |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
重要な関連科目: FU02 情報理論 |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
N.浅井クラスの授業用ホームページはLMSにあります: https://elms.u-aizu.ac.jp/login/index.php X. Li クラスの授業用ホームページは授業で周知されます N. 浅井の実務経験について 1997-2000 （株）ウェーブフロント 研究員 2002-2003 国立環境研究所 客員研究員 2001-2010 旭硝子（株）との共同研究 ウェーブフロント（株）において、また、会津大においても旭硝子(AGC)社との 共同研究において、数値シミュレーション、モデリング、ハイパフォーマンスコンピューティングに関する研究、開発を行ってきた。特にモデリングは代数学の抽象化そのものであり、ハイパフォーマンスコンピューティングにも直結する。 授業形態：講義,演習 |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 1学期 ／First Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
3年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
森 和好 |
| 担当教員名 ／Instructor |
森 和好 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
－ |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
この講義は論理，論理の推論，論理による数学的対象の形式化について学ぶ．内容は以下の４つからなる． (i)リビュー：まず，集合論とその関連するトピック(２項関係や関数など)について復習する． (ii) 基本論理：ブール論理(Boolean Logic)、命題論理(Propositional Logic)と一階述語論理(First-Order Logic)の導入を行う．命題論理は，基本的な論理であり，その演算とともに導入される．一階述語論理は，多くの数学的な理論対象を記述するものである． (iii) 導出原理：導出原理は論理を推論する方法である．スケール標準形(Skolem Standard Forms)，エルブラン空間(Herbrand Universe)の導入を行い，エルブラン定理( Herbrand's Theorem)を示した上で，導出原理(Resolution Principle)を導く． (iv)自然数論の論理的形式化：一階述語論理を用いてペアノの公理を用いて 自然数論の形式化を行う． |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [Competency Codes] C-AL-004-4. C-AL-005-5, C-CN-001-2, C-DS-001-3, C-DS-002-2, C-MS-005 論理は数学の言語と呼ばれる．コンピュータ科学/工学において，論理は基礎 をなす重要なツールである．本講義において，我々は，数理論理と記号論理を学ぶ．最初の目標は，命題論理と一階述語論理を理解することである．次の目標は，命題論理と一階述語論理における導出原理を理解することである．これにより，機械推論を学ぶ．第三の目標は，一階述語論理により，理論を形式化することである．この講義では，理論としてペアノの公理により自然数論の形式化をはかる． |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
各授業において、講義を行い、それに加えて、演習と宿題がある場合がある。 １-２：復習(集合論とその関連トピック, ブール論理) ３-６：論理(命題論理と一階述語論理) ７-１０：導出原理(スケール標準形,エルブラン空間,エルブラン定理,導出原理) １１-１４：自然数論の論理的形式化(ペアノの公理) |
| 教科書 ／Textbook(s) |
資料を配布する． |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
４０％期末試験 ３０％中間試験 ３０％課題/宿題/他 |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
福山 克 「数理論理学」（培風館） 前原 昭二 「記号論理入門」（日本評論社） 山田 俊行「はじめての数理論理学」(森北出版) 鈴木 登志雄 「ろんりの相談室 」(日本評論社) 鈴木 登志雄 「例題で学ぶ集合と論理」(森北出版) 小島 寛之 「証明と論理に強くなる」(日本評論社) |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 3学期 ／Third Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
3年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
高橋 成雄 |
| 担当教員名 ／Instructor |
高橋 成雄 |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
事前に学んでおいてほしい科目一覧（下記科目内容の一部ないし全部を既知として授業を進めます） MA01 線形代数I |
| 更新日／Last updated on | 2023/03/20 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
現代数学の基礎となす位相幾何学(トポロジー)の諸概念とその応用について講究する． 「やわらかい幾何学」と形容される位相幾何学においては，２つのかたちの間をつながりを保持したまま変形できる場合，同じものとみなすことができる．この考え方は，かたちの大局的に特徴づける新たな方法を提供し，近年までのコンピュータ理工学の発展にも大きく寄与している．具体的には，グラフ，曲面などの記述方法の基礎から，データ解析における最先端の特徴抽出技法まで含まれる．本授業においては，そのような位相幾何学において重要な，かたちを分類するためのさまざまな概念を，１，２次元のかたちを具体的な事例を用いて学習する． |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[対応する学習・教育到達目標] (C) 数学・自然科学・情報技術分野の科目の専門的知識と、それらの習得を通して身につけた論理的な思考力や客観的判断力などの科学的思考力を、問題解決に応用できる [コンピテンシーコード] C-DS-003, C-DS-006-1, C-MS-002, C-MS-004, C-MS-006 オイラー標数やベッチ数という大局的な構造と関係する離散不変量とその計算方法，閉曲面の展開による分類，そして，幾何学的な対象(位相空間)から代数的な対象(ホモロジー群)が導かれる仕組みとその性質を理解し，閉曲面などの具体的な幾何学的対象に対してホモロジー群を実際に計算できることを目標とする． |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
01) ガイダンス 02) 1次元のトポロジー: ケーニヒスベルクの橋と一筆書き問題 03) 1次元のトポロジー: 連結性とオイラー・ポアンカレの定理 04) 1次元のトポロジー: ユークリッド空間への埋め込み 05) 2次元のトポロジー: 閉曲面 06) 2次元のトポロジー: 閉曲面の展開図 07) 2次元のトポロジー: 閉曲面の分類 08) 2次元のトポロジー: 連結性とオイラー・ポアンカレの定理 09) n次元のトポロジー: 複体と多面体 10) ホモロジー: 群と準同型 11) ホモロジー: 鎖複体 12) ホモロジー: ホモロジー群 13) ホモロジー: 0次元ホモロジー群，1次元ホモロジー群 14) ホモロジー: 連結性とオイラー・ポアンカレの定理 |
| 教科書 ／Textbook(s) |
瀬山士郎著「トポロジー：柔らかい幾何学」 増補版 日本評論社 (ISBN 978-4-535-78405-5) |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
期末試験(50%) + 授業中のクイズ(50%) 期末試験を受験された方のみ，単位取得の対象となる．不正行為(代理出席やクイズの代理提出を含む)は厳正に対処します． (期末試験の再試験は学生課作成の欠席のガイドラインにそって対応します．) |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
注意: 「M08 応用代数」の単位も修得していることが望ましい． 授業中にすべてのクイズの回答を提出しても，期末試験の成績が劣る場合は，単位を認定しないことがある． 本授業は基本的に日本語で行われますが，ICTGの学生が全ての授業に参加する予定である場合は，英語での授業実施も検討します．英語での授業を希望する場合は，必ず履修登録前に講師に相談してください． |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
小宮克弘著 「位相幾何入門」裳華房 川久保勝夫著 「トポロジーの発想」講談社 Stephen Barr, "Experiments in Topology," Dover Publications, INC Michael Henle, "A Combinatorial Introduction to Topology", Dover Books on Mathematics Please refer to the course page maintained on the Learning Management System (LMS). |
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| 開講学期 ／Semester |
2023年度／Academic Year 4学期 ／Fourth Quarter |
|---|---|
| 対象学年 ／Course for; |
3年 |
| 単位数 ／Credits |
2.0 |
| 責任者 ／Coordinator |
ヴィリエッタ ジョヴァンニ |
| 担当教員名 ／Instructor |
ヴィリエッタ ジョヴァンニ |
| 推奨トラック ／Recommended track |
－ |
| 先修科目 ／Essential courses |
Courses preferred to be learned prior to this course (This course assumes understanding of entire or partial content of the following courses): PL01 Intro. Programming, FU03 Discrete Systems, MA01 Linear Algebra I, MA10 Introduction to Topology |
| 更新日／Last updated on | 2023/08/15 |
|---|---|
| 授業の概要 ／Course outline |
This course covers a selection of modern applications of geometry and topology to computer science, with particular emphasis on computer graphics and data analysis. In the first part of the course, we explore some fundamental techniques revolving around the concepts of "Ray Marching" and "Signed-Distance Field", which are standard in both real-time and pre-processed 3D rendering. As an application of these techniques, we learn how to "paint with math" and create high-quality graphics with purely mathematical formulas, using shadertoy.com as our main platform. A sophisticated example is found here: https://www.shadertoy.com/view/ld3Gz2 In the second part of the course, we cover an emerging technique in topological data analysis called "Persistent Homology". This technique extracts information from a data set by viewing it as an approximation of a topological space and studying its topological properties that remain persistent across several levels of approximation. We begin by reviewing homology's basic definitions and properties, then delve into algorithms for calculating homology groups of simplicial complexes. As a practical application, we construct a simple software tool to perform Persistent Homology on reasonably sized datasets. |
| 授業の目的と到達目標 ／Objectives and attainment goals |
[Corresponding Learning Outcomes] (C)Graduates are able to apply their professional knowledge of mathematics, natural science, and information technology, as well as the scientific thinking skills such as logical thinking and objective judgment developed through the acquisition of said knowledge, towards problem solving. Objectives: Part 1. Students will learn applications of linear algebra and analytic geometry to real-time and pre-processed 3D rendering. Students will understand the concepts of "Ray Marching" and "Signed-Distance Field" and apply them to create original demos on shadertoy.com. Part 2. Students will learn Persistent Homology as an application of topology to data analysis. Students will understand how to represent a simplicial complex as a data structure and how to compute its homology groups. Students will also be able to implement a rudimentary software tool to perform Persistent Homology on data sets. |
| 授業スケジュール ／Class schedule |
Part 1: Lesson 1) Introduction to GLSL and shadertoy.com Lesson 2) Basic 2D shaders and fractals Lesson 3) Ray Marching and Signed-Distance Fields Lessons 4-7) Sculpting and painting 3D scenes with a variety of mathematical techniques Part 2: Lesson 8) Review of group theory Lesson 9) Review of topology and homology Lesson 10) Persistent Homology algorithms Lessons 11-13) Implementing Persistent Homology algorithms Lesson 14) Experimenting with Persistent Homology |
| 教科書 ／Textbook(s) |
Lecture notes and other study materials will be provided by the teacher. |
| 成績評価の方法・基準 ／Grading method/criteria |
Each student can choose between two options: Option 1: Programming project. The student will implement an original shader on shadertoy.com by utilizing the theory learned in the course and combining it with features found in other shaders. The student should be able to explain the purpose of each line of code in his/her project. Each project is individual; it can be started at any time during the course and has to be completed by the end of the term. Option 2: Written exam. In a classroom setting, the student will answer written comprehension questions about the theories discussed in the course. Additionally, there will be exercises to test the student's practical understanding of the concepts learned. |
| 履修上の留意点 ／Note for course registration |
Students are expected to have a working knowledge of at least one programming language, simple data structures, discrete mathematics, and basic linear algebra. Some familiarity with computer graphics, elementary group theory, basic topology and homology is preferred but not required. |
| 参考(授業ホームページ、図書など) ／Reference (course website, literature, etc.) |
Most of Part 1 is based on articles and tutorials by Inigo Quilez, a software engineer and 3D artist who worked for Pixar, Oculus and Adobe: https://iquilezles.org/articles/ Some study materials will also be taken directly from https://www.shadertoy.com For Part 2, a good reference are the two articles https://www.math.uri.edu/~thoma/comp_top__2018/stag2016.pdf https://geometry.stanford.edu/papers/zc-cph-05/zc-cph-05.pdf A good introduction to homology theory is Hatcher's book: https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |