正弦波関数の微分、積分(記号法)

一定周波数の正弦波関数で表示される電流、電圧の指数関数表示は、

$$\begin{eqnarray*}\dot I &=& Ie^{j\omega t}\\ \dot V &=& Ve^{j\omega t} で与えられる。 \end{eqnarray*}$$

これらを 時間で微分すると、

$$\begin{eqnarray*}d\dot I/dt &=& j\omega Ie^{j\omega t} = j \omega \dot I,\\ d\dot V/dt &=& j\omega Ve^{j\omega t} = j \omega \dot V \end{eqnarray*}$$

となり、それぞれ、$\omega$ 倍され、位相が$\pi/2$進むことを示してい る。 これは、 $\frac{d}{dt}$を一つの演算子として考えると、 $\dot I, \dot V$を時間で微分することは、 $\dot I, \dot V$に$j\omega$ を掛け てやることと同じである。 すなわち、次のようにおくことができる。

次に、 $\dot I, \dot V$を時間で積分すると、

$$\begin{eqnarray*}\int \dot Idt &=& \int Ie^{j\omega t}dt = \frac{Ie^{j\omega t}... ...rac{Ve^{j\omega t}}{j\omega }= \frac{\dot V}{j\omega } を得る。 \end{eqnarray*}$$

同じように、$\int dt$ を一つの演算子と考えると、

とおくことができる。

すなわち、	$j\omega$ を掛けることは時間で微分すること、
	$j\omega$ で割ることは時間で積分することである。

したがって、「微分方程式」を、$j\omega$を含む「代数方程式」に変換 し、これを解き、簡単に解を求めることもできる（記号法）。