$j\omega$を使ったおおまかな微分、積分演算法(RC 回路)

(1)

RC微分回路
図2に示すRC回路において、$\omega CR$ についてある条件が満 たされれば、入力信号の微分を行なうことができる。入力電圧 $\dot V_i=Ve^{j\omega t}$、R、Cを流れる電流を$\dot I$ とすれば、

 

$$\begin{eqnarray*}\dot I &=&{\displaystyle \frac{\dot V_i}{R+ {\displaystyle \fra... ...laystyle \frac{\dot V_i}{1+ {\displaystyle \frac1{j\omega CR}}}} \end{eqnarray*}$$

Figure 2: RC微分回路

ここで、 $1\gg\vert j\omega CR\vert$なら $\dot V_R\simeq j\omega CR\dot V_i$すなわち、 となり、微分演算を表す。

(2)

RC積分回路 図3に示すRC回路において、$\omega CR$ についてある条件が満 たされれば、入力信号の積分を行なうことができる。

 

$$\begin{eqnarray*}\dot I &=&{\displaystyle \frac{\dot V_i}{R+ {\displaystyle \fra... ...\omega C}\dot I = {\displaystyle \frac{\dot V_i}{1+j\omega CR}} \end{eqnarray*}$$

Figure 3: RC積分回路

ここで、 $1\ll\vert j\omega CR\vert$ という条件なら

$$\dot V_C\simeq{\displaystyle \frac{1}{CR}\frac{\dot V_i}{j\omega}}$$

$\frac1{j\omega}$は、2.2.1で述べたように時間で積分することを意味する から、

となり、積分演算を表す。

RC直列回路において今までのことをまとめると、以下のことがわかる。
・抵抗端子電圧V_Rを測定すれば微分回路かつHigh-pass filter 回路に対応する。
・コンデンサ端子電圧V_Cを測定すれば積分回路かつLow-pass filter回路に対応する。