誤差の分布

ある物理量の真の値x₀であるとする。この量を同じ条件で数多く測定 する時、統計誤差はなく、偶然誤差のみが誤差の原因であるとすると、測 定値xは真の値x₀のまわりにランダムに分布しており、xがx₀か ら離れるほど、その値が測定される確率は小さくなる筈である。確率論に よれば、xはガウス分布（正規分布ともいう）をしており、その分布関 数は、

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp{\left\{ \frac{-(x-x_0)^2}{2\sigma^2}\right\}}$$ f(x) = (1)

  

Figure 2: ガウス分布

と表され、図 2に示すようにx=x₀（真の値）でピークを示す。 $\sigma$は標準偏差とよばれ、分布の広がりを表す量である。ある量を n回測定して得られた測定値を $x_1,x_2,\cdots,x_n$とすると、各測定 値に含まれる誤差はx_i-x₀であり、この誤差の二乗の平均を $\sigma^2$とすると、

$$\begin{eqnarray*}\sigma^2 &=& \sum \frac{(x_i-x_0)^2}{n} \end{eqnarray*}$$

である。したがって、その平方根の$\sigma$は、

$$\sigma \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_0)^2}{n}}$$ = (2)

と計算される。関数f(x)のすそ野は、 $x=\pm\infty$まで続いているが、 図 2のように $x=x_0\pm\varepsilon$で狭まれる領域を考え、そ の面積が全面積の1/2になる場合、すなわち全データの1/2がその中に含ま れるように $\varepsilon$を選ぶと、

$$\begin{eqnarray*}\int^{x_0+\varepsilon}_{x_0-\varepsilon} f(x)dx &=& \frac{1}{2}\int^\infty_{-\infty} f(x)dx \end{eqnarray*}$$

から、

$$\varepsilon 0.6745\sigma = 0.6745\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_0)^2}{n}}$$ = (3)

となる。この値を確率誤差という。

しかしながら、我々はいくら実験を繰り返しても、真の値x₀を知らな いと $\varepsilon$を計算することはできない。そこでn回の測定から推 測される最も確からしい値として平均値

$$\bar{x} \sum \frac{x_i}{n}$$ = (4)

を考えてみる。まず、n回の測定を行なって平均値 $\overline{x_1}$を 求め、またn回の測定を行なって平均値 $\overline{x_2}$を求めると、 それらは必ずしも同じではない。すなわち、$\bar{x}$もx₀の周 りに分布している筈である。しかし、nが大きくなれば$\bar{x}$もx₀に近い筈で、分布の広がりは$\sigma$よりずっと狭いであろうと 考えられる。統計学によれば、この$\bar{x}$の標準偏差$\sigma_0$は、

$$\sigma_0 \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n(n-1)}}$$ = (5)

となる。先に求めた $\varepsilon$の表現で$\sigma$の代わりにこの $\sigma_0$を用いると、

$$\varepsilon 0.6745\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n(n-1)}}$$ = (6)

となるが、これを平均値の確率誤差という。平均値はいくらでも詳しく計 算することができるが、それがどの桁まで信用できるか（有効数字）を知 るにはここに示した平均値の確率誤差を求めてみると良い。