直列共振回路における出力電圧V_Rと入力電圧Vとの間の位相差

直列共振回路のインピ−ダンス

$$\begin{eqnarray*}\dot Z &=& R + jX\hspace{5zw}教科書(2.74)式 \end{eqnarray*}$$

インピ−ダンスの位相角(偏角)

$$\begin{eqnarray*}\theta_Z &=& \tan^{-1}(\frac{X}{R}) \end{eqnarray*}$$

ただし、

$$\begin{eqnarray*}X &=& \frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}=\frac{2\pi fL-\frac{1}{2\pi fC}}{R} \end{eqnarray*}$$

入力電圧を$\dot V$で表せば $\dot V＝V\angle 0$、すなわち位相0の$\dot V$を基準とする。
電流Iの大きさは、 $I = \frac{V}{Z}=\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}$
ここで、位相を入れてフェーザ表示すると $\dot I = \frac{V\angle 0}{Z\angle \theta_Z}=\frac{V}{Z}\angle -\theta_Z$
V_Rの大きさは、 $V_{R} = RI=\frac{RV}{\sqrt{R^2+X^2}}$
したがって、入出力比

$$\frac{V_R}{V} \frac{R}{\sqrt{R^2+X^2}}$$ = (7)

位相を考慮し、フェーザ表示すると $\dot V_R=R\dot I=R(\frac{V}{Z})\angle -\theta_Z$したがって、出力電圧$\dot V_R$(位相は電流と同じ)と入力電圧$\dot V$の間の位相差$\phi$は

$$\phi -\theta_Z$$ =

$$-\tan^{-1}(\frac{X}{R})=-\tan^{-1}[\frac{2\pi fL-\frac{1}{2\pi fC}}{R}]$$ = (8)

となる。すなわち、共振角周波数 $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$、または共振周波数 $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$のとき両者の位相差$\phi$は0である。
$\omega$ > $\omega_{0}$、すなわちf > f₀のときは$\phi$ < 0で、電流の位相は入力電圧より$\phi$遅れる。
$\omega$ < $\omega_{0}$、すなわちf < f₀のときは$\phi$ > 0で、電流の位相は入力電圧より$\phi$進むことになる。